Hypothese

De romeinse pentagon-dodecaeder een astronomisch meetinstrument voor het bepalen van de optimale zaaidatum van wintergraan.

G.M.C. Wagemans

In de loop der jaren zijn verschillende theorieën geformuleerd die proberen te verhelderen waarvoor dodecaëders werden gebruikt of welke betekenis dodecaëders hadden in de toenmalige samenleving. Een bevredigende verklaring is echter tot nu toe uitgebleven. Tot dusver zijn ongeveer 90 exemplaren gevonden in dat deel van Europa dat vroeger tot het Noordwestelijk deel van het Romeinse Imperium behoorde. De vondstomstandigheden zijn vaak onduidelijk maar toch kan met enige zekerheid worden vastgesteld dat ze waarschijnlijk vanaf de 1e tot de 4e eeuw na Chr. zijn gebruikt. In twee recente publicaties (R. Nouwen 1993 en B.H. Greiner 1995) wordt een uitvoerig overzicht gegeven van alle op dat moment bekende dodecaëders en waarin tevens alle bestaande theorieën op basis van deels wetenschappelijke analyses worden verworpen. Door Greiner worden maar liefst 27 verschillende theorieën vermeld. Theorieën die vaak mijlenver uit elkaar liggen zoals kandelaar, dobbelsteen, wapenknots, kinderspeeltje, geodetisch meetinstrument, scepterknop etc.

Een nieuwe hypothese

Dit artikel presenteert een nieuwe theorie over het gebruik van de dodecaëders, samen met de experimentele ondersteuning. Kort samengevat kan mijn nieuwe theorie als volgt worden omschreven. De dodecaëder was een astronomisch meetinstrument waarmee de hoek van het zonlicht kon worden gemeten en waarmee zodoende nauwkeurig één specifieke datum kon worden bepaald in het voorjaar en in het najaar. De data welke konden worden gemeten waren waarschijnlijk van belang voor de toenmalige landbouw waarbij vooral de zaaidatum van de wintergranen belangrijk was voor het verkrijgen van optimale opbrengsten. Ik ga er daarom ook vanuit dat de dodecaëders alleen in het najaar werden gebruikt.

De werking van de dodecaëder als meetinstrument berust op de stand van de zon op het hoogste punt van de dag. In een kalenderjaar doorloopt de aarde een volledige baan om de zon (365 1/4 dagen). De stand van de aarde t.o.v. de zon verloopt in de loop van een jaar volgens een sinusbeweging. De hoogste stand van de zon wordt bereikt rond 21 juni als de zon op de hoogte van de kreeftskeerkring staat (breedtegraad N 23°.27') en het laagste punt rond 22 december als de zon op de hoogte van de steenbokskeerkring staat (breedtegraad Z 23°.27').
Het lentepunt en herfstpunt vallen respectievelijk rond 21 maart en 23 september wanneer de zon op de hoogte van de evenaar staat. De hoek welke het zonlicht maakt met de aarde is afhankelijk van de breedtegraad waar men zich bevind.
Als rekenvoorbeeld Maastricht, gelegen op breedtegraad N 50°.52'. Op 21 maart en 23 september bedraagt de grootste hoek welke het zonlicht maakt met de aarde in Maastricht 90° - 50°.52' = 39°.08', op 21 juni 90° - (50°.52'-23°.27') = 62°.35' en op 22 december 90° - (50°.52'+23°.27') = 16°.41'.
Indien men dus in staat is de hoek welke het zonlicht maakt met de aarde nauwkeurig vast te leggen legt men aldus ook nauwkeurig de datum vast. Het gebruik van de dodecaëder is volgens mijn hypothese op deze kennis gebaseerd.

De werking is als volgt: De dodecaëder werd in het najaar, op een zonnige dag, op een horizontaal vlak geplaatst. Vervolgens werd rond het middaguur, wanneer de zon op het hoogste punt van de dag staat, de licht doorval gecontroleerd van twee tegenover elkaar liggende openingen (zie fig.1). Volgens een bepaald systeem, dat later zal worden besproken, werden vervolgens twintig meetpunten gecontroleerd op licht doorval.

Fig. 1

Het laatste meetpunt wordt verkregen op de dag dat alle meetpunten licht doorval geven. In het voorjaar kunnen in principe dezelfde metingen worden uitgevoerd(op het eind van de meetperiode geven dan geen meetpunten meer licht doorval omdat de zon dan steeds hoger komt te staan) maar de hypothese gaat ervan uit dat de dodecaëders alleen in het najaar werden gebruikt.

Berekeningen

Om nauwkeurig de datum te berekenen zullen dus eerst de hoeken moeten worden berekend welke met de dodecaëders gemeten kunnen worden. De hoek welke per twee tegenover elkaar liggende gaten gemeten kan worden wordt bepaald door de diameter van de dodecaëder en de gemiddelde diameter van de twee tegenover elkaar liggende gaten.
De hoek door het hart van twee tegenover elkaar liggende gaten bedraagt voor alle dodecaëders 26,6° waardoor de hoek kan worden berekend met de formule:

A, B = straal van de twee tegenover elkaar liggende openingen.
D = diameter dodecaëder.

Hierbij moet het volgende worden opgemerkt: de berekening gaat uit van een perfect meetkundig lichaam waarbij de bolletjes zodanig zijn bevestigd dat de dodecaëder horizontaal staat. In de praktijk zal dit waarschijnlijk niet het geval zijn, ook al blijken de toenmaige smeden en bronsgieters over aantoonbare kwaliteiten te hebben beschikt. Voor elke dodecaëder kunnen op deze manier zes verschillende meetpunten worden verkregen (de twaalf vlakken geven zes verschillende combinaties van twee tegenover elkaar liggende gaten). Met de aldus verkregen zes hoeken kunnen vervolgens de daarbij behorende data worden bepaald.
Dit kan gebeuren door gebruik te maken van formules uit de astronomie maar ook door gebruik te maken van tabellen.
Indien de breedtegraad bekend is en de hoek van het zonlicht welke gemeten kan worden, kan eenvoudig met behulp van de tabel de daarbijbehorende datum worden bepaald.
Deze berekeningen zijn aan 29 dodecaëders uitgevoerd, waarbij per dodecaëder de eerste en laatste datum werd vastgesteld.
De noodzakelijke gegevens zoals diameter, afmetingen gaten en vindplaats(voor het bepalen van de breedtegraad) van de dodecaëders zijn afkomstig uit de publicatie van Nouwen.
Het aantal van 29 is niet willekeurig tot stand gekomen. De volgende overwegingen hebben bij de selectie een rol gespeeld.

1. Allereerst heeft meting slechts zin wanneer de vindplaats van een dodecaëder bekend is. Immers, zonder gegevens omtrent de breedtegraad kan de berekening niet worden gemaakt.
2. Verder dient de dodecaëder in een zodanige gave toestand te verkeren dat de diameter van alle twaalf gaten bekend is.
3. Voorts moet bekend zijn waar de dodecaëder zich thans bevindt, zodat de berekende hoeken ook aan het originele exemplaar kunnen worden opgemeten.

De resultaten van de berekeningen zijn samengevat in tabel 1. De nummers in de tabel komen overeen met de nummering uit de publicatie van Nouwen.

Tabel 1. Meetperiode najaar

Uit de berekeningen blijkt dat het totale meetbereik van de dodecaëders varieert tussen 10 augustus en 9 oktober. De laatste datum varieert tussen 9 september en 9 oktober. Indien de dodecaëders werden gebruikt voor het nauwkeurig bepalen van een bepaalde datum zal het waarschijnlijk gaan om de laatste datum welke gemeten kon worden simpelweg er van uitgaande dat een te meten datum na de gewenste datum geen functie meer zou hebben. Stel bijvoorbeeld dat de datum welke moet worden vastgelegd 25 september is. Meting van een hoek van het zonlicht welke kleiner is dan de hoek van het zonlicht op 25 september zou betekenen dat de gewenste datum reeds gepasseerd is. Om niet het risico te lopen dat het op de gewenste datum bewolkt is zijn wel meerdere meetpunten nodig in de periode voordat de gewenste datum bereikt wordt. Indien de gebruiker wist hoeveel dagen zich tussen de verschillende meetpunten bevonden kon toch de gewenste datum worden bepaald ook als het op de betreffende dag bewolkt was.

Onderbouwing hypothese

Nu de uitkomst van de berekeningen aangeeft wat het meetbereik is van de 29 dodecaëders, rijst de vraag in welk kader deze data betekenis zouden kunnen hebben. Het lijkt logisch om daartoe eerst na te gaan in hoeverre de archeologische context behulpzaam kan zijn. Helaas is deze voor de meeste exemplaren niet bekend. Door Nouwen wordt vermeld dat slechts 9 maal de archeologische context bekend is en bij 33 exemplaren kent men de herkomst met een vage aanduiding van de site.
De sites zijn zeer verscheiden. Zo zijn dodecaëders o.a. gevonden in militaire kampen (13), graven (3), bij een heiligdom (1) in muntschatten (2) als riviervondst (3).
Hoe groot het contrast kan zijn mag blijken uit het feit dat naast de aanwezigheid in militaire kampen een dodecaëder werd gevonden als grafgift in een vrouwengraf.
De archeologische context biedt dus weinig informatie over een mogelijke betekenis van de data welke gemeten kunnen worden.
Vervolgens kunnen we ons afvragen waarom de data die gemeten konden worden zo belangrijk waren. We kunnen hierbij denken aan religieuze dagen of feestdagen. Echter, in dat geval zou het meetbereik meer rond een bepaalde datum zijn geconcentreerd. De uitkomsten zijn daarmee in strijd.
Een andere mogelijkheid is om het verspreidingsgebied nader te analyseren. Geen enkel exemplaar werd aangetroffen in het gebied van de Middellandse Zee: Italië, Spanje en Griekenland.

Vindplaatsen Dodecaeders

De vondsten dateren allen van na de 1ste eeuw na Chr. en beperken zich tot een Romeinse of inheems-Romeinse context.
Ondermeer deze overwegingen brachten mij ertoe de relatie te leggen met klimaatverschillen tussen het Middellandse Zee gebied en Noordwest Europa waardoor ik uiteindelijk de koppeling ben gaan leggen met de uitoefening van de landbouw.
Een belangrijk klimaatverschil tussen Noordwest Europa en Zuid Europa is namelijk de strengheid van de winters.
Voor het oogsten was geen nauwkeurige datumbepaling noodzakelijk men kon immers aan het gewas of de vruchten zien/voelen of geoogst moest worden.
Zaaien moet echter op een tijdstip gebeuren dat klimatologisch voor het betreffende gewas het meest gunstig is voor het verkrijgen van een hoge opbrengst, en dit geldt vooral voor de wintergranen.
Wintergerst en wintertarwe worden heden in de periode september/oktober gezaaid. (zie fig. 2)

Fig. 2

Ik ben er mij van bewust dat bij het vertalen van gewasresultaten uit de twintigste eeuw naar de eerste eeuwen van onze jaartelling voorzichtigheid moet worden betracht omdat door graanveredeling, nieuwe rassen, eventueel klimaatverschil, andere ziektes etc. verschillen kunnen optreden.

Zoals we uit de berekeningen hebben kunnen zien blijkt dat het laatste meetpunt van de dodecaëders varieert tussen 9 september en 9 oktober. Dit komt overeen met de resultaten van gewastesten zoals deze in de twintigste eeuw hebben plaats gevonden.

De zaaidatum voor de wintergranen is zeer belangrijk om de volgende redenen:

1. Wordt te vroeg gezaaid dan zal het plantje te ver ontwikkeld zijn voor de winter en kan vorstschade optreden.
2. Wordt te laat gezaaid dan is het wortelgestel te slecht ontwikkeld waardoor, vooral bij herhaaldelijke afwisselingen van vorst en dooi, het plantje kan uitdrogen wat in de landbouw uitwinteren wordt genoemd.

Dat ook de Romeinse boeren hiermee problemen hadden blijkt uit een citaat van Plinius "...the crops having been nipped by an extremely cold winter, in March they actually sowed the field again, and had a bounteous harvest..." Dat er op dit punt lange tijd weinig veranderde blijkt uit een citaat over de landbouw in het begin van de negentiende eeuw "...het schijnt, dat men begon met het zaaien van wintergerst; als het gewas door de weersomstandigheden werd aangetast, ploegde men het nadien weer om en verving men het door zomergerst, die een geringere opbrengst gaf..." Het verschil in opbrengst is waarschijnlijk te verklaren doordat de Romeinse boer zijn akker na de winter niet omploegde waardoor de wintergraanplantjes welke de winter wel goed hadden doorstaan nog een extra bijdrage leverden aan de totale opbrengst.
Uit beide citaten zou men kunnen afleiden dat men de voorkeur gaf aan wintergraan en dat zomergranen een tweede keus waren om de oogst te garanderen bij een slechte opkomst van het wintergraan. Alleen in gevallen waarbij het perceel in het najaar niet ter beschikking staat door bijvoorbeeld vruchtwissel(drieslagstelsel) zou ook voor zomergraan gekozen kunnen worden. Waarschijnlijk werd in de tijd van de Romeinen ook nog geen onderscheid gemaakt tussen winter en zomergraan zodat zij ook niet bang waren voor vermenging van de graansoorten. Graanveredeling van specifiek zomer en wintergraan heeft waarschijnlijk veel later zijn intrede gedaan.

Wat de zaaidatum betreft moet ik nog opmerken dat deze natuurlijk als indicatie was bedoeld. De werkelijke datum waarop werd gezaaid was natuurlijk afhankelijk van de weersomstandigheden van dat moment.

De archeologische context in relatie met de hypothese

Belangrijke graadmeter voor de waarde van de door mij geformuleerde hypothese is natuurlijk de vraag of de archeologische context past in de gestelde hypothese. Onderstaand zullen een aantal vondstomstandigheden worden besproken.
De aanwezigheid van de dodecaëder bij een heiligdom(Schwarzenacker bij Homburg/Saar) en als riviervondst(Nijmegen,Trier, Zürich) benadrukken de mogelijke relatie met religie.
Het vaststellen van een datum van zulk belang voor de hele samenleving zal ongetwijfeld samengaan met religieuze plechtigheden en het is daarom niet verwonderlijk dat ook dodecaëders in een rituele context gevonden zijn.
De aanwezigheid van een dodecaëder in een muntschat(Membrey, Saint Parize-le-Châtel) in een rijk vrouwengraf(Krefeld-Gellep) en bij een villa-rustica(Greiner geeft voor 4 dodecaëders als mogelijke herkomst een villa-rustica) tonen aan dat de dodecaëder in bezit was van welgestelde personen.
Aangezien religieuze ambten gedragen werden door de elite, dezelfde mensen die villa bedrijven bezaten en die ook stedelijke ambten vervulden, is een mate van overlap tussen de contexten niet verwonderlijk.

Ca 13 dodecaëders werden gevonden op plaatsen waar militairen waren gelegerd. Indien de dodecaëder gebruikt werd ten behoeve van de landbouw zou dit kunnen betekenen dat de Romeinse legers, of een deel daarvan, ook landbouw bedreven en een bijdrage moesten leveren aan de eigen voedselvoorziening.
Dit wordt o.a. bevestigd door Heinrich Krefeld die hierover het volgende schrijft: "...In den ruhigen Zeiten des 2. und 3. Jh wurde ihnen oftmals noch während ihrer Dienstzeit Ackerland in der nähe des Lagers oder Kastells zur Bebauung zugewiesen, das sie auch an ihre Söhne vererben konnten, wenn diese sich verpflichteten, ebenfalls Soldat zu werden ..."
Het is overigens geen onlogische gedachte om de soldaten in vredestijd mee te laten werken aan hun eigen voedselvoorziening waarbij volgens bovenstaand citaat op een eenvoudige wijze ook de rekrutering kon worden gegarandeerd.

Of de landbouwgronden rond de Romeinse legerstandplaatsen werden geëxploiteerd door pachters of door de militairen zelf is overigens niet belangrijk omdat het net als bij de villa bedrijven dan gaat om tamelijk grootschalige exploitatie van landbouwgronden vanuit een centrum.
Het gebruik van de dodecaëder zou dan samen kunnen gaan met verspreid landbezit en een poging de opbrengsten te optimaliseren.

De Juliaanse kalender en de wijze van datumbepaling
(zie ook het artikel op de website over het ontstaan van onze huidige kalender)

Belangrijk discussiepunt is natuurlijk de vraag waarom deze vorm van datumbepaling werd toegepast terwijl de Juliaanse kalender reeds in gebruik was.
In eerste instantie zou men kunnen denken aan een instrument dat bedoeld was voor de landbouwers zelf omdat deze groep waarschijnlijk de Juliaanse kalender niet machtig was.
Als we de archeologische context van de dodecaëders met elkaar vergelijken is er echter een zekere mate van overlap va macht, rijkdom en religie.
Dit was niet weggelegd voor de eenvoudige landarbeider maar behoorde juist toe aan de hogere klasse in de toenmalige samenleving waarvan we juist mogen verwachten dat ze voldoende opleiding hadden genoten om de Juliaanse kalender te hanteren.
Een verklaring zou kunnen zijn dat bij een belangrijke datum voor de landbouw het niet gaat om een datum welke in het gehele rijk hetzelfde is zoals dat bij religieuze feestdagen het geval is maar gaat om een datum welke afhankelijk is van o.a. grondsoort en klimatologische omstandigheden en daardoor voor elk landbouwgebied kan verschillen.
Door echter deze datum met behulp van de dodecaëder vast te leggen en elk jaar vanuit een centraal punt(tempel, militair kamp, villa-rustica etc.) in het betreffende landbouwgebied bekend te maken kon verwarring op dit punt worden voorkomen. Door het moment van zaaien op deze manier bekend te maken en niet te koppelen aan de Juliaanse kalender is het mogelijk dat deze vorm van datumbepaling gemakkelijker door de landarbeiders werd geaccepteerd zeker als dit gelijktijdig plaats vond met verering van een voor de landbouwers belangrijke godheid.(zie ook mijn hypothese over de Gallo-Romeinse paardengodin Epona op deze website onder het hoofdstuk andere mysteries).
Indien de pachters tevens een vast deel van de opbrengst moesten afstaan aan de grootgrondbezitter kon deze hiervan handig gebruik maken om de opbrengsten te registreren. Zo kon hij op een betrekkelijk eenvoudige manier voor zijn landbouwgebied de zaaidatum waarbij gemiddeld de hoogste opbrengst verwacht kon worden optimaliseren en zijn eigen inkomsten verhogen.

Bijzondere exemplaren

De dodecaëder van Londen

In het Museum of London wordt een fragment bewaard van een dodecaëder (inv. nr. C996) met op elk hoekpunt 3 bolletjes(zie fig. 3).

Fig. 3

Dit kan erop wijzen dat de bolletjes de functie hebben gehad van pootjes waarmee de dodecaëder in verschillende standen kon worden geplaatst. Dit past geheel in mijn hypothese omdat de bolletjes een belangrijke functie hebben om hoekcorrecties aan te brengen gezien de dodecaëders nooit helemaal symmetrisch gegoten zijn. Het is mogelijk dat deze methode bij de eerste dodecaëders werd toegepast maar al snel werd verlaten door op iedere hoek slechts een bolletje aan te brengen dat voor alle drie aangrenzende vlakken dienst doet.

De icosaëder van Arloff (Rheinisches Landesmuseum, Bonn)

De icosaëder is een soort gelijk voorwerp als de dodecaëder maar nu opgebouwd uit 20 gelijkzijdige driehoeken waardoor slechts 12 hoekpunten worden verkregen i.pl.v. 20 (zie fig.4 en 5).

Bij de icosaëder zijn slechts twee tegenover elkaar liggende vlakken van een opening voorzien en zijn de bolletjes op de hoeken duidelijk van verschillende diameter(twee bolletjes ontbreken).
Omdat we met een ander meetkundige vorm te maken hebben bedraagt de hoek door het hart van de twee tegenover elkaar liggende gaten 48,2° i.pl.v. 26,6°(dodecaëder).
Door de aanwezigheid van slechts twee tegenover elkaar liggende gaten zou slechts één datum mogelijk zijn.
De verschillende diameters van de bolletjes brengen hier uitkomst. Doordat de bolletjes van de vlakken naast de vlakken met de twee openingen verschillende diameters hebben kunnen de twee tegenover elkaar liggende gaten in 6 verschillende standen worden gezet.

Fig. 6

In fig. 6 is dit aangegeven. De bolletjes op de hoekpunten van het vlak met de opening zullen waarschijnlijk gelijke diameters hebben (D) terwijl de bolletjes op de hoekpunten A, B en C verschillende diameters moeten bezitten. Het vlak met de andere opening zal een zelfde opbouw hebben maar met andere diameters van de bolletjes.
Van de totaal twaalf bolletjes zullen er dus waarschijnlijk maximaal acht een verschillende diameter hebben.
Omdat de diameters van de bolletjes bij de publicatie niet vermeld staan kan de datum niet worden berekend. Gaan we in theorie echter uit van drie dezelfde bolletjes (bolletje C is gelijk aan D) dan bedraagt de datum 30 augustus. Is het bolletje kleiner dan D wordt de te meten datum later dan 30 augustus, is het bolletje groter dan wordt een vroegere datum gemeten. Ondanks een totaal ander meetkundig lichaam t.o.v. de dodecaëders valt het meetgebied van de icosaëder waarschijnlijk in dezelfde periode van het jaar.

Metingen aan originele exemplaren

Allereerst dank ik hiervoor Drs. M. Brouwer (in 1997 conservator Romeinse archeologie RMO Leiden) voor het beschikbaar stellen van de dodecaëders. Speciaal voor mijn onderzoek werden de in Nederland gevonden dodecaëders(Elst en Hartwerd) uit de vitrine gehaald en heb ik in totaal drie dagen mijn metingen in het museum kunnen uitvoeren.

Zoals reeds vermeld mogen we aannemen dat de dodecaëders niet als een perfect meetkundig lichaam gegoten zijn en dat hierdoor de berekende data in de tabel kunnen verschillen met de data welke met de originele exemplaren gemeten kunnen worden.
Om te onderzoeken hoe groot de verschillen kunnen zijn werden door mij in het Rijksmuseum van Oudheden te Leiden aan de dodecaëders van Elst en Hartwerd(zie fig. 7 en 8) hoekmetingen uitgevoerd.

Alvorens de resultaten van de metingen te bespreken is het nuttig eerst de variaties welke zich bij het meten kunnen voordoen te verduidelijken.
Bij een perfect meetkundig lichaam zullen slechts zes metingen mogelijk zijn. De dodecaëder moet dan aan de volgende voorwaarden voldoen:

1. De dodecaëder moet een perfect meetkundige vorm hebben.
2. Het hart van een gat moet in het midden van het vlak liggen terwijl de opening perfect rond moet zijn.
3. De bolletjes op de hoekpunten moeten zodanig zijn bevestigd dat de dodecaëder in elke stand perfect horizontaal staat.
   Indien aan een of meer van deze voorwaarden niet wordt voldaan krijgen we een totaal andere situatie.
   Omdat voor elk vlak dat naar de zon wordt gericht 5 verschillende vlakken naar de bodem gericht kunnen worden zijn bij twaalf vlakken dus 12x5=60 verschillende hoekmetingen mogelijk.
   Omdat de resultaten van de metingen mede informatie moeten geven over de manier waarop de dodecaëder moest worden gehanteerd zijn voor beide dodecaëders alle 60 meetpunten vastgelegd.

De bepaling werd uitgevoerd met behulp van een lichtspot (zie fig.9).

Fig. 9

Deze methode werd door mij ook toegepast voor het ijken van de replica’s welke ik gemaakt heb om mijn hypothese te onderbouwen. Om deze reden is in fig.9 als voorbeeld de hoekmeting voor de breedtegraad van Heythuysen weergegeven.

Voor elk meetpunt wordt de dodecaëder naar voren of naar achter geschoven tot het moment dat een zeer klein lichtvlekje nog net zichtbaar is. Vervolgens wordt de afstand gemeten tussen lichtvlek en de loodlijn onder de lichtspot.
Voor punt A en B kan de datum als volgt worden berekend:

Omdat geen merktekens op de dodecaëders aanwezig zijn is voor een nummering gekozen zoals in fig.10 weergegeven.

Fig. 10

Met het nummer van het meetpunt wordt de positie van de dodecaëder weergegeven waarbij de meting werd uitgevoerd. Het nummer bevindt zich tijdens de meting boven de opening van het vlak dat naar de zon is gericht.
In tabel 2 en 3 zijn de resultaten van de metingen samengevat.

Tabel 2:
Hartwerd: totale meetbereik 41°.57’ - 53°.39’

Tabel 3:
Elst: totale meetbereik 35°.57’ - 45°.36’

Als we het meetbereik voor de betreffende breedtegraad omrekenen naar data dan blijkt dat voor beide dodecaëders een meetbereik aanwezig is van ca 25 dagen.
Indien we waren uitgegaan van de theoretische meetpunten bij een perfect meetkundige vorm dan was het meetbereik voor de dodecaëder van Elst aanzienlijk kleiner (zie tabel 4)

Tabel 4:
Berekening op basis van volledige symmetrie van de dodecaëder waardoor slechts 6 data mogelijk zijn(de tegenover liggende vlakken geven dezelfde datum als ze naar de zon worden gericht).

De dodecaëder van Elst is dus niet symmetrisch waarmee verklaard kan worden waarom de diameters van de gaten in vergelijking met andere dodecaëders relatief weinig spreiding vertonen. Nouwen schrijft hierover "...Bij andere, bv. Elst merkt men slechts varianten van 13 tot 18 mm..."

Het hanteren van de dodecaëder

Omdat de berekeningen aantonen dat de meetperiode in de meeste gevallen de 30 dagen niet overschrijdt (tabel 1) en merktekens op de vlakken ontbreken ben ik er vanuit gegaan dat een methode moest worden toegepast waarbij op een eenvoudige wijze de meetpunten moesten worden geselecteerd.

Bij bestudering van de dodecaëder van Elst waren op sommige bolletjes duidelijk vlakjes aanwezig (slijtage?) op de plaatsen waar ze contact maakten met de grond terwijl sommige bolletjes geen contact met de grond maakten.
Opgemerkt moet worden dat bij de dodecaëder van Hartwerd sporen van restauratie aanwezig waren en dat op een vlak de rand van de opening naar binnen was gedrukt.
Zowel door Nouwen als door Greiner wordt opgemerkt dat bij vrijwel alle dodecaëders de twee grootste gaten tegenover elkaar liggen. Door Greiner wordt tevens opgemerkt dat deze gaten waarschijnlijk voor de fabricage reeds in de wassen vorm zijn aangebracht en dat de kern, waaromheen de wassen vorm werd aangebracht, na het gieten door deze gaten uit de dodecaëder werd gebeiteld. Deze twee gaten vertonen vlgs. Greiner meestal ook beschadigingen of onregelmatigheden.
Indien we aannemen dat deze twee gaten om deze reden niet als meetpunt werden gebruikt blijven 10 meetvlakken over voor datum bepaling waarmee in totaal 50 hoeken kunnen worden gemeten.
Aan de hand van deze 50 resterende meetpunten heb ik het volgende systeem ontdekt wat voor de dodecaëders werd toegepast.Van de resterende 50 meetpunten werden er slechts 20 gebruikt voor datumbepaling.

De werking is als volgt:

1. Maak een glad horizontaal oppervlak waarop de metingen kunnen worden uitgevoerd op het moment dat de zon op haar hoogste punt van de dag staat.
2. Bepaal bij de dodecaëder de twee tegenover elkaar liggende vlakken met de grootste gaten.
3. Ga achter het horizontale vlak staan zodat u in de richting van de zon kijkt.
4. Plaats nu de dodecaëder met een van de twee geselecteerde grootste gaten naar beneden op het meetvlak en draai de dodecaëder zodanig dat een van de 5 schuine vlakken aan de bovenzijde naar de zon is gericht en controleer of een lichtvlek aanwezig is.
5. Draai nu de dodecaëder, zonder hem op te tillen, zodanig dat ook de overige 4 vlakken gecontroleerd kunnen worden. Noteer of onthoud hoeveel van de vijf meetpunten licht doorval geven.
6. Plaats vervolgens het tegenover liggend grootste gat naar beneden en herhaal de meting. In totaal zijn nu 10 meetpunten gecontroleerd.
7. Plaats nu de dodecaëder zodanig dat een van de twee grootste gaten zich links onder, aan de zijde van de gebruiker, bevindt van het vlak waar het zonlicht moet uittreden.
8. Controleer of een lichtvlek aanwezig is en draai vervolgens de dodecaëder om de denkbeeldige as die door de twee grootse openingen loopt en controleer de overige vier meetpunten. De tegenover elkaar liggende vlakken met de grootste openingen blijven dus bij elk meetpunt op dezelfde plaats. In totaal zijn nu dus vijftien meetpunten gecontroleerd.
9. Plaats nu het andere vlak met de grootste opening in dezelfde positie en herhaal de meting zoals onder punt 8 omschreven. Alle twintig meetpunten zijn nu gecontroleerd.

De meting lijkt in eerste instantie ingewikkeld maar na enige oefening is de totale meting gemakkelijk binnen 2 minuten uit te voeren.
Opgemerkt kan worden dat bij de dodecaëder van Elst de bolletjes op de twee vlakken met de grootste openingen de meeste slijtage vertoonde. Dit is geheel in overeenstemming met de wijze van gebruik omdat op deze bolletjes de dodecaëder telkens wordt gedraaid zonder dat deze moet worden opgetild.

Volgens mijn hypothese werden de dodecaëders dus in het najaar gebruikt. Dat betekent dus dat naarmate de dagen verstrijken de zon steeds lager komt te staan en steeds meer meetpunten licht doorval geven.
Het resultaat van een meting kan dus als volgt worden uitgelegd:
Stel dat 6 van de 20 meetpunten licht doorval geven, dan is men 20 – 6 = 14 dagen van de gewenste datum verwijderd. Twee dagen later geven 8 van de 20 meetpunten licht doorval en is men 12 dagen van de gewenste datum verwijderd etc.

Volgens bovenstaande methode worden uit tabel 2 en 3 bij de dodecaëders van Elst en Hartwerd de volgende meetpunten gebruikt:

Elst:
Eerste grote opening naar beneden Nr. 1/17/20/58/59
Tegenoverliggende grote opening naar beneden Nr. 31/41/25/24/44
Grote opening links onder Nr. 5/21/47/60/7
Tegenoverliggende grote opening links onder Nr. 55/13/26/40/32

Hartwerd:
Eerste grote opening naar beneden Nr. 28/50/34/47/29
Tegenoverliggende grote opening naar beneden Nr. 54/14/4/11/55
Grote opening links onder Nr. 56/10/3/25/43
Tegenoverliggende grote opening links onder Nr. 17/30/38/35/51

Zoals reeds opgemerkt zijn de nummers van meetpunten voor de twee dodecaëders verschillend omdat het eerste nummer op een willekeurige plaats werd aangebracht. De uitvoering van de meting is echter voor beide dodecaëders hetzelfde.
Uiteraard zijn veel meer varianten mogelijk waarbij telkens 5 meetpunten worden verkregen. Op grond van de data welke met deze methode voor de twee dodecaëders werden verkregen en de ervaring met mijn replica waarbij op de dag nauwkeurig de datum kan worden bepaald lijkt de gehanteerde methode zoals beschreven het meest waarschijnlijk.

De data welke met deze methode werden verkregen zijn samengevat in tabel 5 en 6.

Tabel 5:
Resultaten metingen dodecaëder Elst (breedte N 51°.55').

Gemiddelde afwijking bedraagt 0.11 (11 boogminuten). Komt overeen met een halve dag. De grootste afwijking bedraagt anderhalve dag bij het meetpunt van 11 september.

Tabel 6:
Resultaten metingen dodecaëder Hartwerd (breedte N 53°.04').

Gemiddelde afwijking bedraagt 0.29 (29 boogminuten). Komt overeen met één à anderhalve dag. De grootste afwijking bedraagt drie dagen bij de meetpunten van 7 september en 26 augustus.
De grootste afwijking wordt bij de dodecaëder van Hartwerd verkregen die op 26 augustus een afwijking heeft van drie dagen. Dit is te verklaren door de beschadigingen en restauratie sporen. Bij de dodecaëder van Elst bedraagt de grootste afwijking slechts 1,5 dag op 11 september.
De eerste twee meetpunten zijn bij beide dodecaëders waarschijnlijk bedoeld als aanloop op de werkelijke meetperiode.
Bij de dodecaëder van Elst is de laatste datum (28 september) waarschijnlijk als reserve meetpunt aanwezig d.w.z. dat dit meetpunt gemakkelijk kan worden aangepast door de datum te vervroegen. Het is namelijk wel mogelijk om een datum te vervroegen door een van de openingen op de gewenste plaats te vergroten maar het is niet mogelijk om een opening te verkleinen. De meting is dus pas nauwkeurig op het moment dat drie meetpunten lichtdoorval geven terwijl bij de dodecaëder van Elst het laatste meetpunt geen functie heeft voor de datum bepaling. Het aantal meetpunten bij de dodecaëder van Elst dat voor nauwkeurige datum bepaling wordt gebruikt bedraagt dus 19.

Voorbeeld 1: Stel dat met de dodecaëder van Elst 6 van de 20 meetpunten lichtdoorval geven dan is men 19-6 = 13 dagen van de gewenste datum verwijderd.

Voorbeeld 2: Stel dat met de dodecaëder van Hartwerd 9 van de 20 meetpunten lichtdoorval geven dan is men 20-9 = 11 dagen van de gewenste datum verwijderd.

De optimale zaaidatum voor de wintergranen ligt dus voor de dodecaëder van Hartwerd (8 september) 16 dagen vroeger dan de dodecader van Elst (24 september). Ook nu nog wordt een algemene regel gehanteerd dat in Friesland gemiddeld de winterperiode twee weken eerder zijn intrede doet ten opzichte van zuidelijker gelegen streken.

IJking Replica’s

Omdat voor beide dodecaëders dezelfde methode werd gehanteerd heb ik deze methode ook toegepast voor het ijken van mijn replica. De ijking(hoekcorrectie) werd uitgevoerd door iets van de bolletjes te vijlen en/of vergroting van de opening. Het is mogelijk dat bij de originele exemplaren de bolletjes tijdens het ijken in de gewenste stand werden geplaatst waardoor alleen kleine correcties nodig waren aan de gaten.
Op deze wijze heb ik vervolgens de dodecaëder geijkt voor de periode van 6 t/m 25 september.
Met deze replica heb ik vervolgens aangetoond dat met een dodecaëder op de dag nauwkeurig twintig aaneengesloten dagen gemeten kunnen worden.
Bij de icosaëder constateerde ik dat de bolletjes veel groter moesten worden dan ik had verwacht. Bij de icosaëder kunnen correcties niet worden aangebracht door de gaten te vergroten omdat alle 6 metingen moeten worden uitgevoerd met slechts twee tegenover elkaar liggende gaten. Omdat een van de openingen slechts een diameter heeft van 4,5 mm kan de icosaëder ook op een andere wijze worden gebruikt. Bij de dodecaëder moeten in het najaar, naarmate de datum later valt, meer meetpunten lichtdoorval geven. Met de icosaëder kan ook de omgekeerde methode worden gehanteerd waarbij het aantal meetpunten dat lichtdoorval geeft afneemt. Door deze methode toe te passen waren de afmetingen van de bolletjes visueel in overeenstemming met het originele exemplaar uit Arloff.
Bij de icosaëder heb ik dezelfde meetperiode gehanteerd waarbij het verschil in twee elkaar opvolgende meetpunten 4 dagen bedraagt. Omdat het ijken in de winterperiode plaats vond moest ik voor het uitvoeren van praktijktesten wachten tot de overeeenkomstige periode in het najaar. In het najaar heb ik met de dodecaëder op de dag nauwkeurig de datum kunnen bepalen terwijl de icosaëder een afwijking had van een dag. Bij de icosaëder moest de werkelijke datum worden bepaald aan de hand van de grootte van de lichtvlek tussen twee meetpunten. Is deze lichtvlek zeer klein dan is de datum van het volgende meetpunt bereikt. Bij een groter lichtvlek is men nog enkele dagen (maximaal 3) van het volgende meetpunt verwijderd. Met de icosaëder werd daarom bij meting in de praktijk een afwijking verkregen van 1 dag. Werd de icosaëder echter geijkt met twee dagen verschil tussen twee meetpunten dan kon met een totale meetperiode van 10 dagen ook hiermee op de dag nauwkeurig de datum worden bepaald.

Slot

Nu is aangetoond dat met een dodecaëder op de dag nauwkeurig de datum kan worden bepaald en dat de twee originele exemplaren na een verblijf van ca 1500 jaar in de grond slechts een geringe afwijking vertonen zou het onderzoek moeten worden voortgezet door metingen te verrichten aan meerdere originele exemplaren. Omdat ik er in theorie vanuit ga dat tussen de meetpunten steeds gelijke stappen aanwezig zijn van slechts een dag kunnen voor de metingen ook de dodecaëders worden gebruikt waarvan de vindplaats en dus ook de breedtegraad niet bekend is. De resultaten van deze laatste metingen kunnen dan echter niet naar een datum worden omgerekend maar zijn toch voor de onderbouwing van de hypothese zeer waardevol.
We moeten ook bedenken dat de dodecaëders in een periode van ca 300 jaar zijn gebruikt waarbij in de wijze van gebruik verschillen kunnen optreden. Het systeem zoals bij de dodecaëders van Elst en Hartwerd werd toegepast hoeft niet op alle dodecaëders van toepassing te zijn. Gezien de vele mogelijkheden ga ik er wel van uit dat bij de meeste dodecaëders, door het ontbreken van merktekens, de twee grootste gaten die tegenover elkaar liggen een belangrijke rol hebben gespeeld.
Uiteindelijk moeten we ons realiseren dat alleen de gebruiker of gebruikster op de hoogte hoefde te zijn van het toegepaste systeem en dit zoals soms uit de archeologische context blijkt als een geheim meenam in zijn/haar graf.

Samenvatting

In de loop der jaren zijn verschillende theorieën geformuleerd die proberen te verhelderen waarvoor dodecaëders werden gebruikt of welke betekenis dodecaëders hadden in de toenmalige samenleving. Theorieën welke vaak mijlenver uit elkaar liggen zoals kandelaar, dobbelsteen, wapenknots, geodetisch meetinstrument, scepterknop etc. Een bevredigende verklaring is echter tot nu toe uitgebleven. Volgens mijn nieuwe theorie was de dodecaëder een astronomisch meetinstrument waarmee op basis van de stand van de zon, op het hoogste punt van de dag, in het voorjaar en in het najaar één specifieke datum kon worden bepaald. De data welke konden worden gemeten waren waarschijnlijk van belang voor de toenmalige landbouw waarbij vooral de zaaidatum van de wintergranen belangrijk was voor het verkrijgen van optimale opbrengsten. De eventuele invloed van de strengheid van de winter op de opbrengst zou kunnen verklaren waarom de dodecaëders alleen in Noordwest Europa zijn gevonden en niet in Zuid Europa. Het vastleggen van deze belangrijke data gebeurde waarschijnlijk niet door de landbouwers zelf maar behoorde toe aan de hogere klasse in de toenmalige samenleving omdat in de archeologische context een zekere mate van overlap aanwezig is van macht, rijkdom en religie. De zaaidatum werd waarschijnlijk vanuit een centraal punt voor elk landbouwgebied apart vastgelegd omdat afhankelijk van o.a. grondsoort en klimatologische omstandigheden deze data per landbouwgebied kunnen verschillen. Belangrijk voor de waarde van de door mij geformuleerde theorie is dat ook de icosaëder van Arloff met slechts twee tegenover elkaar liggende openingen en met bolletjes op de hoekpunten van verschillende diameter, past in de theorie. Metingen aan de dodecaëders van Elst en Hartwerd tonen aan dat datumbepaling mogelijk is maar de uitgevoerde metingen waren niet volledig. Het onderzoek zou daarom moeten worden voortgezet door aan meerdere originele exemplaren metingen uit te voeren volgens de methoden zoals in dit artikel worden voorgesteld.

Literatuur

Greiner,B.A.,1995. Römische Dodecaëder. Carnuntum Jahrbuch 1995. p.9/44.
Jong,J.A. de,1990. Algemene plantenteelt voor het middelbaar agrarisch onderwijs.
Meeus,J.,1982. Astronomical Formulae for Calculators, second edition, Enlarged & Revised.
Krefeld, H., 1963. Res Romanae.
Nouwen,R.1993. De Romeinse Pentagon-dodecaëder: mythe en enigma. Publicaties van het Gallo-Romeins Museum, Tongeren, Nr 45, Hasselt.
Philips,J.F.R., Jansen,J.C.G.M., Claessens,Th.J.A.H.,1965. Geschiedenis van de landbouw in Limburg 1750-1914. Maas-landse Monografieën.
Roymans,N.,1990. Tribal societies in Northern Gaul. An anthropological perspective.
Wagemans,G.M.C.,1996. Mysterie Romeinse Pentagon-dodecaëder ontsluierd? Westerheem, jaargang 45 no.4 p.199/207.
Wagemans,G.M.C.,1997. Was de Romeinse pentagon-dodecaeder een astronomisch meetinstrument voor het bepalen van de zaaidatum? Oudheidkundige mededelingen uit het Rijksmuseum van Oudheden te Leiden 77, 1997.